∫ Калькулятор интегралов

О калькуляторе интегралов

Calculus Integral Calculator находит первообразную функции относительно x и показывает работу построчно. Создан для students, educators and self-learners, которые хотят понять, why ответ верен, а не просто получить конечный результат. Каждый шаг называет применённое правило — степенное правило, правило суммы, правило постоянного множителя, метод подстановки с линейной внутренней функцией, тригонометрические правила, показательное правило или интегрирование по частям — так что вы можете сопоставить его с вашим учебником или конспектом лекций.

Все расчёты выполняются полностью в вашем браузере. Данные не отправляются на сервер, регистрация не требуется, инструмент соответствует GDPR.

Что такое интегрирование?

Интегрирование — обратное дифференцирование. Если F'(x) = f(x), то F(x) называется antiderivative от f(x), записывается:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Константа C представляет семейство кривых, имеющих одну и ту же производную. Для definite integral с пределами a и b вы вычисляете первообразную на границах и вычитаете:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

Это Fundamental Theorem of Calculus и даёт знаковую площадь под кривой y = f(x) между x = a и x = b.

Стандартные правила интегрирования

• Constant rule: ∫ k dx = k·x + C
• Power rule: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, для n ≠ −1
• Reciprocal rule: ∫ 1/x dx = ln|x| + C
• Exponential rule: ∫ e^x dx = e^x + C и ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C
• Sum / difference rule: ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• Constant-multiple rule: ∫ k·f(x) dx = k · ∫ f(x) dx
• Trig rules: ∫ sin(x) dx = −cos(x), ∫ cos(x) dx = sin(x), ∫ sec²(x) dx = tan(x)
• u-substitution (linear inner): ∫ f(ax + b) dx = (1/a) · F(ax + b)
• Integration by parts: ∫ ln(x) dx = x·ln(x) − x + C

Как использовать этот калькулятор

1. Type or click your integrand с помощью клавиатуры выше. Используйте x как переменную, ^ для степеней и стандартных операторов.
2. Press Integrate. Большая панель результатов показывает первообразную с + C, плюс пронумерованную разбивку каждого применённого правила.
3. (Optional) Open the Definite Integral panel и введите нижнюю и верхнюю границы. Калькулятор вычисляет F(b) − F(a) и показывает числовую площадь.
4. Try the example chips чтобы увидеть, как решаются распространённые интегралы — многочлены, тригонометрические, экспоненциальные, логарифмические и обратные.

Распространённые случаи применения

• GCSE Further Maths, A-Level Maths и домашние задания IB HL
• Задачи по математическому анализу высшего уровня экзамена Leaving Certificate
• Курсы математического анализа первого года университета (инженерия, физика, экономика, информатика)
• Быстрая проверка первообразных при изучении или проверке работ
• Формирование интуиции для фундаментальной теоремы математического анализа

Часто задаваемые вопросы

Why does my answer have a "+ C" at the end? Неопределённые интегралы определяются с точностью до аддитивной константы — любая константа исчезает при дифференцировании. «+ C» напоминает, что бесконечно много функций имеют одну и ту же производную.

Can it integrate with respect to a variable other than x? Калькулятор использует x в качестве переменной. Если в вашей задаче используется другая буква, мысленно подставьте её вместо x перед вводом. Структура ответа при этом не изменится.

How accurate is the numeric definite integral? Когда находится первообразная в замкнутой форме, F(b) − F(a) вычисляется с двойной точностью с плавающей запятой, точно примерно до 12–13 десятичных знаков. Когда замкнутая форма недоступна, калькулятор переходит к Simpson's rule с адаптивным разбиением, что точно примерно до 1×10⁻⁸ для гладких подынтегральных функций.

Why does some integrand return "not supported"? Инструмент ориентирован на стандартные правила, преподаваемые в начальном математическом анализе: степени, сумма/разность, постоянный множитель, тригонометрические, показательные, логарифмические функции и метод подстановки с линейной внутренней функцией. Интегралы, требующие интегрирования по частям произведений типа x·sin(x), тригонометрической замены, разложения на простые дроби по нелинейным знаменателям или специальных функций, намеренно выходят за рамки. Попробуйте сначала разложить подынтегральное выражение на более простые члены или используйте связанный Graphing Calculator для численной визуализации площади.

Does it handle constants like π and e? Да. Введите pi или нажмите клавишу π для π, и e для числа Эйлера. Они рассматриваются как точные константы в первообразной и преобразуются в числа при вычислении определённых границ.

Can I use this for negative or fractional powers? Да. Правило степени работает для любого вещественного n ≠ −1 — попробуйте x^(-2), x^(1/2) или sqrt(x).

Is my data stored anywhere? Нет. Каждый расчёт выполняется локально в вашем браузере, и ничего не загружается.

Похожие калькуляторы

• Calculus Derivative Calculator — Дифференцируйте любую функцию пошагово. Объяснение степенного, произведения, частного, цепного, тригонометрического, показательного и логарифмического правил.
• Algebra Calculator — Решайте линейные и квадратные уравнения пошагово со специализированной экранной клавиатурой.
• Graphing Calculator — Стройте и визуализируйте математические функции в интерактивном режиме.