𝑑/𝑑𝑥 微积分导数计算器

关于微积分导数计算器

Calculus Derivative Calculator 求出函数关于 x 的导数，并逐行展示解题过程。它专为 students, educators and self-learners 设计，帮助他们理解为什么 why 答案是正确的，而不仅仅是最终结果。每一步都标注了所使用的法则——幂法则、求和法则、常数倍法则、乘积法则、商法则、链式法则、三角函数法则、指数法则或对数法则——方便您与教材或讲义对照。

所有计算在您的浏览器中本地运行。不向服务器发送数据，无需注册，且符合GDPR合规要求。

什么是微分？

微分测量函数的 rate of change。几何上,某点的导数 f'(x) 给出 y = f(x) 图像在该点的切线斜率。形式上:

f'(x) = lim_h→0 [ f(x + h) − f(x) ] / h

在实践中，我们很少直接计算这个极限。相反，我们应用一套differentiation rules，这些规则已从定义中一劳永逸地推导出来。

标准微分规则

• Constant rule: d/dx [k] = 0
• Power rule: d/dx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
• Sum / difference rule: d/dx [f ± g] = f' ± g'
• Constant-multiple rule: d/dx [k·f] = k·f'
• Product rule: d/dx [f·g] = f'·g + f·g'
• Quotient rule: d/dx [f/g] = (f'·g − f·g') / g²
• Chain rule: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
• Trig rules: d/dx [sin(x)] = cos(x), d/dx [cos(x)] = −sin(x), d/dx [tan(x)] = sec²(x)
• Exponential rules: d/dx [e^x] = e^x 且 d/dx [a^x] = a^x·ln(a)
• Logarithm rules: d/dx [ln(x)] = 1/x 且 d/dx [log₁₀(x)] = 1/(x·ln(10))

如何使用本计算器

1. Type or click your function 使用上方键盘。以 x 为变量，^ 表示幂次，并使用标准运算符。
2. Press Differentiate. 大结果面板显示符号导数以及应用的每条规则的分解。
3. (Optional) Type a value into "Slope at x =" 查看 f'(x₀) 的数值。这是 x = x₀ 处切线的斜率 — 对切线问题和某点处梯度问题很有用。
4. Try the example chips 查看常见导数如何计算 — 多项式、积、商、链式合成和三角函数。

常见用途

• GCSE Further Maths、A-Level Maths 和 IB HL 作业
• Leaving Certificate 高级微积分问题
• 大学一年级微积分(工程、物理、经济、计算机科学)
• 切线、法线和变化率问题
• 优化：通过令 f'(x) = 0 定位临界点
• 曲线描绘和驻点分析

常见问题

Why is my answer not fully simplified? 计算器忠实应用微分规则，并有意只做轻量代数化简——保留结构可见，便于理解哪条规则产生了哪一项。可手动进一步化简，或将结果粘贴到Algebra Calculator中。

Can I differentiate with respect to a variable other than x? 计算器使用 x 作为变量。如果您的问题使用不同的字母(t、θ…),请在输入前心理替换为 x。答案的结构相同。

What does it mean when the derivative equals zero? f'(x) = 0 的点称为stationary point：是局部最大值、局部最小值或拐点的候选点。二阶导数——或对f'的符号变化检验——可以判断是哪种情况。

Does it support implicit differentiation? 目前还不支持——本工具计算单变量函数的 explicit 导数。对于x² + y² = 1这样的隐函数，请手动对两边求导并整理。

Does it handle constants like π and e? 是的。输入pi或点击π键表示π，输入e表示欧拉数。它们求导为0（它们是常数）。

How accurate is the numeric value at a point? 符号导数是精确的，因此f'(x₀)使用双精度浮点运算求值，精确到约12–13位小数。

Is my data stored anywhere? 不。每次计算都在您的浏览器本地运行,不上传任何内容。

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