∫ 微积分积分计算器

关于微积分积分计算器

Calculus Integral Calculator求函数关于x的不定积分，并逐行展示计算过程。它专为students, educators and self-learners而设计，让您看到why答案是正确的，而不仅仅是最终结果。每一步都会标注所应用的规则——幂法则、求和法则、常数倍数法则、线性内函数换元法、三角函数法则、指数法则或分部积分法——以便您与教材或课堂笔记对照。

所有计算在您的浏览器中本地运行。不向服务器发送数据，无需注册，且符合GDPR合规要求。

什么是积分？

积分是微分的反过程。如果 F'(x) = f(x),则 F(x) 称为 f(x) 的 antiderivative,写为:

∫ f(x) dx = F(x) + C

常数 C 表示具有相同导数的曲线族。对于上下限分别为 a 和 b 的 definite integral,您在边界处求反导数并相减:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

这是 Fundamental Theorem of Calculus，表示曲线 y = f(x) 在 x = a 到 x = b 之间的有符号面积。

标准积分法则

• Constant rule: ∫ k dx = k·x + C
• Power rule: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C,n ≠ −1
• Reciprocal rule: ∫ 1/x dx = ln|x| + C
• Exponential rule: ∫ e^x dx = e^x + C 且 ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C
• Sum / difference rule: ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• Constant-multiple rule: ∫ k·f(x) dx = k · ∫ f(x) dx
• Trig rules: ∫ sin(x) dx = −cos(x), ∫ cos(x) dx = sin(x), ∫ sec²(x) dx = tan(x)
• u-substitution (linear inner): ∫ f(ax + b) dx = (1/a) · F(ax + b)
• Integration by parts: ∫ ln(x) dx = x·ln(x) − x + C

如何使用本计算器

1. Type or click your integrand 使用上方键盘。以 x 为变量，^ 表示幂次，并使用标准运算符。
2. Press Integrate. 大结果面板显示带 + C 的反导数,以及应用的每条规则的编号分解。
3. (Optional) Open the Definite Integral panel 并输入下限和上限。计算器求 F(b) − F(a) 并显示数值面积。
4. Try the example chips 查看常见积分如何求解 — 多项式、三角函数、指数、对数和倒数。

常见用途

• GCSE Further Maths、A-Level Maths 和 IB HL 作业
• Leaving Certificate 高级微积分问题
• 大学一年级微积分课程（工程、物理、经济、计算机科学）
• 学习或评分时的快速反导数检查
• 建立微积分基本定理的直觉

常见问题

Why does my answer have a "+ C" at the end? 不定积分仅在加法常数范围内确定——任何常数在微分后都会消失。"+C"提醒我们有无数个函数具有相同的导数。

Can it integrate with respect to a variable other than x? 计算器使用 x 作为变量。如果您的问题使用不同的字母，请在输入前将其替换为 x。答案的结构是相同的。

How accurate is the numeric definite integral? 当找到闭合形式的反导数时，F(b) − F(a) 使用双精度浮点运算计算，精度约为12-13位小数。当无闭合形式可用时，计算器回退至 Simpson's rule 并采用自适应细分，对平滑被积函数的精度约为1×10⁻⁸。

Why does some integrand return "not supported"? 本工具专注于入门级微积分中教授的标准规则:幂、和/差、常数倍、三角、指数、对数和具有线性内函数的 u-替换。需要对 x·sin(x) 等乘积进行分部积分、三角替换、非线性分母的部分分式或特殊函数的积分有意超出其范围。请尝试先将被积函数拆分为更简单的项,或使用相关的 Graphing Calculator 以数值方式可视化面积。

Does it handle constants like π and e? 是。输入pi或点击π键表示π，输入e表示欧拉数。它们在反导数中被视为精确常数，在计算定积分边界时转换为数值。

Can I use this for negative or fractional powers? 是的。幂法则适用于任何实数 n ≠ −1——试试 x^(-2)、x^(1/2) 或 sqrt(x)。

Is my data stored anywhere? 不。每次计算都在您的浏览器本地运行,不上传任何内容。

相关计算器

• Calculus Derivative Calculator — 逐步微分任何函数。解释幂、积、商、链、三角、指数和对数规则。
• Algebra Calculator — 使用专用屏幕键盘逐步求解一次方程和二次方程。
• Graphing Calculator — 以交互方式绘制和可视化数学函数。