∫ Analysis-Integralrechner

Über den Analysis-Integralrechner

Der Calculus Integral Calculator bildet die Stammfunktion einer Funktion nach x und zeigt den Rechenweg zeilenweise. Er ist gedacht für students, educators and self-learners, die sehen möchten, why eine Antwort korrekt ist — nicht nur das Endergebnis. Jeder Schritt nennt die angewendete Regel — Potenzregel, Summenregel, Konstantenfaktorregel, u-Substitution mit linearer innerer Funktion, trigonometrische Regeln, Exponentialregel oder partielle Integration — sodass Sie ihn mit Ihrem Lehrbuch oder Ihren Vorlesungsmitschriften abgleichen können.

Alle Berechnungen laufen vollständig in Ihrem Browser. Es werden keine Daten an einen Server gesendet, keine Anmeldung ist erforderlich, und das Tool ist DSGVO-konform.

Was ist Integrieren?

Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens. Wenn F'(x) = f(x), dann nennt man F(x) eine antiderivative von f(x), geschrieben:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Die Konstante C steht für die Schar an Kurven, die alle dieselbe Ableitung besitzen. Für ein definite integral mit Grenzen a und b werten Sie die Stammfunktion an den Grenzen aus und subtrahieren:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

Das ist der Fundamental Theorem of Calculus und ergibt die vorzeichenbehaftete Fläche unter der Kurve y = f(x) zwischen x = a und x = b.

Standard-Integrationsregeln

• Constant rule: ∫ k dx = k·x + C
• Power rule: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, für n ≠ −1
• Reciprocal rule: ∫ 1/x dx = ln|x| + C
• Exponential rule: ∫ e^x dx = e^x + C und ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C
• Sum / difference rule: ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• Constant-multiple rule: ∫ k·f(x) dx = k · ∫ f(x) dx
• Trig rules: ∫ sin(x) dx = −cos(x), ∫ cos(x) dx = sin(x), ∫ sec²(x) dx = tan(x)
• u-substitution (linear inner): ∫ f(ax + b) dx = (1/a) · F(ax + b)
• Integration by parts: ∫ ln(x) dx = x·ln(x) − x + C

So verwenden Sie diesen Rechner

1. Type or click your integrand mit der obigen Tastatur. Verwenden Sie x als Variable, ^ für Potenzen und Standardoperatoren.
2. Press Integrate. Das große Ergebnisfeld zeigt die Stammfunktion mit + C, plus eine nummerierte Aufschlüsselung jeder angewendeten Regel.
3. (Optional) Open the Definite Integral panel und tippen Sie die untere und obere Grenze ein. Der Rechner wertet F(b) − F(a) aus und zeigt die numerische Fläche.
4. Try the example chips um zu sehen, wie gängige Integrale gelöst werden — Polynome, Trigonometrie, Exponentialfunktionen, Logarithmen und Kehrwerte.

Häufige Anwendungen

• GCSE Further Maths, A-Level Maths und IB-HL-Hausaufgaben
• Leaving-Certificate-Higher-Level-Analysis-Aufgaben
• Analysis-Kurse im ersten Studienjahr (Ingenieurwesen, Physik, Wirtschaft, Informatik)
• Schnelle Stammfunktions-Checks beim Lernen oder Korrigieren
• Aufbau der Intuition für den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Häufig gestellte Fragen

Why does my answer have a "+ C" at the end? Unbestimmte Integrale sind nur bis auf eine additive Konstante bestimmt — jede Konstante verschwindet beim Differenzieren. Das „+ C“ erinnert daran, dass unendlich viele Funktionen dieselbe Ableitung besitzen.

Can it integrate with respect to a variable other than x? Der Rechner verwendet x als Variable. Wenn Ihre Aufgabe einen anderen Buchstaben verwendet, ersetzen Sie ihn vor der Eingabe gedanklich durch x. Die Struktur der Antwort ist dieselbe.

How accurate is the numeric definite integral? Wenn eine geschlossene Stammfunktion gefunden wird, wird F(b) − F(a) mit Gleitkommaarithmetik doppelter Genauigkeit ausgewertet und ist auf etwa 12–13 Dezimalstellen genau. Liegt keine geschlossene Form vor, greift der Rechner auf Simpson's rule mit adaptiver Unterteilung zurück, was bei glatten Integranden etwa auf 1×10⁻⁸ genau ist.

Why does some integrand return "not supported"? Das Tool konzentriert sich auf die Standardregeln, die in der einführenden Analysis gelehrt werden: Potenz-, Summen-/Differenz-, Konstantenfaktor-, trigonometrische, Exponential-, Logarithmus- und u-Substitutionsregel mit linearer innerer Funktion. Integrale, die partielle Integration über Produkte wie x·sin(x), trigonometrische Substitution, Partialbruchzerlegung mit nichtlinearen Nennern oder spezielle Funktionen erfordern, sind bewusst außerhalb des Funktionsumfangs. Versuchen Sie, den Integranden zunächst in einfachere Terme zu zerlegen, oder verwenden Sie den verwandten Graphing Calculator, um die Fläche numerisch zu visualisieren.

Does it handle constants like π and e? Ja. Geben Sie pi ein oder klicken Sie auf die π-Taste für π, und e für die eulersche Zahl. Sie werden als exakte Konstanten in der Stammfunktion behandelt und beim Auswerten bestimmter Grenzen in Zahlen umgewandelt.

Can I use this for negative or fractional powers? Ja. Die Potenzregel funktioniert für jedes reelle n ≠ −1 — probieren Sie x^(-2), x^(1/2) oder sqrt(x).

Is my data stored anywhere? Nein. Jede Berechnung läuft lokal in Ihrem Browser und nichts wird hochgeladen.

Verwandte Rechner

• Calculus Derivative Calculator — Beliebige Funktionen Schritt für Schritt differenzieren. Potenz-, Produkt-, Quotienten-, Ketten-, Trigonometrie-, Exponential- und Logarithmusregeln erklärt.
• Algebra Calculator — Lineare und quadratische Gleichungen Schritt für Schritt mit einer speziellen Bildschirmtastatur lösen.
• Graphing Calculator — Mathematische Funktionen interaktiv plotten und visualisieren.