∫ कैलकुलस इंटीग्रल कैलकुलेटर

कलनशास्त्र समाकल कैलकुलेटर के बारे में

Calculus Integral Calculator x के संदर्भ में एक फ़ंक्शन का प्रतिअवकल ज्ञात करता है और काम को पंक्ति दर पंक्ति दिखाता है। यह students, educators and self-learners के लिए बनाया गया है जो यह देखना चाहते हैं कि उत्तर why क्यों सही है, न केवल अंतिम परिणाम। प्रत्येक चरण उस नियम का नाम देता है जो लागू किया गया था — पावर नियम, योग नियम, स्थिरांक-गुणन नियम, रैखिक आंतरिक फ़ंक्शन के साथ u-प्रतिस्थापन, त्रिकोणमितीय नियम, घातांकीय नियम या भागों द्वारा एकीकरण — ताकि आप इसे अपनी पाठ्यपुस्तक या व्याख्यान नोट्स से मेल खा सकें।

सभी गणनाएँ पूरी तरह आपके ब्राउज़र में चलती हैं। कोई डेटा सर्वर पर नहीं भेजा जाता, कोई साइन-अप आवश्यक नहीं है, और यह टूल GDPR अनुपालक है।

समाकलन क्या है?

समाकलन विभेदन का व्युत्क्रम है। यदि F'(x) = f(x), तो F(x) को f(x) का antiderivative कहा जाता है, लिखा जाता है:

∫ f(x) dx = F(x) + C

स्थिर C वक्रों के परिवार का प्रतिनिधित्व करता है जो सभी समान व्युत्पन्न साझा करते हैं। a और b सीमाओं के साथ एक definite integral के लिए, आप सीमाओं पर प्रतिअवकलज का मूल्यांकन करते हैं और घटाते हैं:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

यह Fundamental Theorem of Calculus है और वक्र y = f(x) के नीचे x = a और x = b के बीच हस्ताक्षरित क्षेत्र देता है।

मानक एकीकरण नियम

• Constant rule: ∫ k dx = k·x + C
• Power rule: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ −1 के लिए
• Reciprocal rule: ∫ 1/x dx = ln|x| + C
• Exponential rule: ∫ e^x dx = e^x + C और ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C
• Sum / difference rule: ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• Constant-multiple rule: ∫ k·f(x) dx = k · ∫ f(x) dx
• Trig rules: ∫ sin(x) dx = −cos(x), ∫ cos(x) dx = sin(x), ∫ sec²(x) dx = tan(x)
• u-substitution (linear inner): ∫ f(ax + b) dx = (1/a) · F(ax + b)
• Integration by parts: ∫ ln(x) dx = x·ln(x) − x + C

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. Type or click your integrand ऊपर दिए गए कीबोर्ड का उपयोग करें। चर के रूप में x, घात के लिए ^ और मानक ऑपरेटर का उपयोग करें।
2. Press Integrate. बड़ा परिणाम पैनल + C के साथ प्रतिअवकलन दिखाता है, साथ ही लागू प्रत्येक नियम का क्रमांकित विभाजन।
3. (Optional) Open the Definite Integral panel और निचली और ऊपरी सीमाएँ टाइप करें। कैलकुलेटर F(b) − F(a) का मूल्यांकन करता है और संख्यात्मक क्षेत्र दिखाता है।
4. Try the example chips यह देखने के लिए कि सामान्य समाकल कैसे हल किए जाते हैं — बहुपद, त्रिकोणमिति, घातांक, लघुगणक और व्युत्क्रम।

सामान्य उपयोग

• GCSE अग्रिम गणित, A-Level गणित और IB HL होमवर्क
• Leaving Certificate उच्च-स्तरीय कलन समस्याएं
• प्रथम वर्ष के विश्वविद्यालय कलन पाठ्यक्रम (इंजीनियरिंग, भौतिकी, अर्थशास्त्र, कंप्यूटर विज्ञान)
• अध्ययन या अंकन करते समय त्वरित प्रतिअवकलन जांच
• कलन के मौलिक प्रमेय की अंतर्ज्ञान विकसित करना

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

Why does my answer have a "+ C" at the end? अनिश्चित समाकल केवल एक योज्य स्थिरांक तक निर्धारित होते हैं — कोई भी स्थिरांक अवकलन के तहत गायब हो जाता है। "+ C" एक अनुस्मारक है कि अनंत कई फंक्शन समान व्युत्पन्न साझा करते हैं।

Can it integrate with respect to a variable other than x? कैलकुलेटर x को चर के रूप में उपयोग करता है। यदि आपकी समस्या में एक अलग अक्षर है, तो दर्ज करने से पहले मानसिक रूप से x के लिए इसे प्रतिस्थापित करें। उत्तर की संरचना समान है।

How accurate is the numeric definite integral? जब एक बंद-रूप प्रतिअवकल पाया जाता है, F(b) − F(a) का मूल्यांकन दोहरी-सटीकता फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के साथ किया जाता है, लगभग 12-13 दशमलव स्थानों तक सटीक। जब कोई बंद रूप उपलब्ध नहीं है, कैलकुलेटर Simpson's rule पर वापस आता है अनुकूली उपविभाजन के साथ, जो चिकने इंटीग्रेंड के लिए लगभग 1×10⁻⁸ तक सटीक है।

Why does some integrand return "not supported"? उपकरण परिचयात्मक कलन में सिखाए गए मानक नियमों पर ध्यान केंद्रित करता है: घात, योग/अंतर, स्थिर-गुणक, त्रिकोणमितीय, घातांक, लघुगणकीय और एक रैखिक आंतरिक फ़ंक्शन के साथ u-प्रतिस्थापन। x·sin(x) जैसे गुणनफलों पर भागों द्वारा एकीकरण, त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन, गैर-रैखिक हरों पर आंशिक भिन्न, या विशेष कार्यों की आवश्यकता वाले समाकल जानबूझकर इसके दायरे से बाहर हैं। पहले समाकल्य को सरल पदों में विभाजित करने का प्रयास करें, या क्षेत्र को संख्यात्मक रूप से कल्पना करने के लिए संबंधित Graphing Calculator का उपयोग करें।

Does it handle constants like π and e? हाँ। π के लिए pi टाइप करें या π की दबाएं, और Euler की संख्या के लिए e। उन्हें प्रतिअवकल में सटीक स्थिरांक के रूप में माना जाता है और निश्चित सीमाओं का मूल्यांकन करते समय संख्याओं में परिवर्तित किया जाता है।

Can I use this for negative or fractional powers? हां। पावर नियम किसी भी वास्तविक n ≠ −1 के लिए काम करता है — x^(-2), x^(1/2) या sqrt(x) आज़माएं।

Is my data stored anywhere? नहीं। हर गणना आपके ब्राउज़र में स्थानीय रूप से चलती है और कुछ भी अपलोड नहीं होता है।

संबंधित कैलकुलेटर

• Calculus Derivative Calculator — किसी भी फ़ंक्शन को चरण-दर-चरण विभेदित करें। पावर, उत्पाद, भागफल, चेन, ट्रिग, घातांक और लॉग नियम समझाए गए।
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• Graphing Calculator — गणितीय फ़ंक्शन को इंटरेक्टिव रूप से प्लॉट और विज़ुअलाइज़ करें।