What kinds of integrals can this calculator solve?

It solves indefinite and definite integrals of polynomials, rational functions of the form 1/(ax+b), trigonometric functions (sin, cos, tan, sec, csc, cot), hyperbolic functions, exponentials such as eˣ and aˣ, the natural logarithm ln(x), and any of the above with a linear inner argument (u-substitution with u = ax+b).

Does it show the working step by step?

Yes. Every result includes a numbered list of steps that names the rule applied (constant rule, power rule, sum rule, constant-multiple rule, u-substitution, trig rule, exponential rule, integration by parts) and shows how the antiderivative is built up.

How do I enter a definite integral?

Open the Bounds panel under the keypad and type the lower and upper limits (numbers, π, e or simple expressions). The calculator will compute the antiderivative F(x) and then F(upper) − F(lower) automatically.

What does + C mean in the answer?

An indefinite integral has infinitely many antiderivatives that differ by a constant. The + C represents this arbitrary constant of integration. For definite integrals the constant cancels when you subtract F(lower) from F(upper).

Why does the calculator say a problem is not supported?

Some integrals require advanced techniques such as integration by parts on products like x·sin(x), trigonometric substitution, partial fractions for non-linear denominators, or series expansion. These are intentionally outside the scope of a step-by-step student tool. Try splitting the integrand into simpler terms or rewriting it before integrating.

∫ 미적분 적분 계산기

단계별로 부정적분 및 정적분을 계산하십시오. 피적분함수를 직접 입력하거나 삼각, 로그, 지수 및 거듭제곱 함수를 위한 전문 키보드를 사용하십시오.

피적분 함수를 입력하세요 (변수로 x을 사용)

x^2 + 3x - 5

팁: 거듭제곱 필요 ^ — 유형 x^2 x²의 경우 (단지 x2 즉 x·2). 곱셈은 암묵적 — 2x, 3sin(x) 및 5(x+1) 모두 작동합니다. 사용: sqrt(x) √x의 경우, pi π 및 e 오일러 수. 식은 ∫로 처리됩니다 f(x) dx.

x² 3x² + 2x − 5 (2x+1)³ sin(x) cos(2x+1) eˣ e^(3x) 1/x ln(x) √x

정적분 — 선택사항

하한 a

상한 b

부정적분을 구하려면 두 칸을 모두 비워 두세요. 두 칸을 모두 채우면 F(b) − F(a)와 곡선 아래 수치 면적을 계산합니다.

역도함수

미적분 적분 계산기 소개

Calculus Integral Calculator은 x에 대한 함수의 역도함수를 구하고 단계별로 작업을 보여줍니다. 이 도구는 why이 맞는지 알고 싶은 students, educators and self-learners을 위해 만들어졌습니다. 모든 단계에서 적용된 규칙의 이름을 명명합니다 — 거듭제곱 법칙, 합의 법칙, 상수 배수 법칙, 선형 내부 함수를 이용한 치환, 삼각함수 규칙, 지수 법칙 또는 부분 적분.

모든 계산은 브라우저에서 완전히 실행됩니다. 서버로 데이터가 전송되지 않으며, 회원가입이 필요하지 않고, 이 도구는 GDPR을 준수합니다.

적분이란 무엇입니까?

적분은 미분의 역입니다. F'(x) = f(x)이면 F(x)은 f(x)의 antiderivative라고 하며, 다음과 같이 씁니다:

∫ f(x) dx = F(x) + C

상수 C은(는) 같은 도함수를 공유하는 모든 곡선의 집합을 나타냅니다. definite integral의 경우 한계 a와 b가 있으면 경계에서 부정적분을 평가하고 뺍니다:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

이것은 Fundamental Theorem of Calculus이며 x = a와 x = b 사이의 곡선 y = f(x) 아래의 부호 있는 넓이를 제공합니다.

표준 적분 규칙

Constant rule: ∫ k dx = k·x + C
Power rule: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ −1인 경우
Reciprocal rule: ∫ 1/x dx = ln|x| + C
Exponential rule: ∫ e^x dx = e^x + C 및 ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C
Sum / difference rule: ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
Constant-multiple rule: ∫ k·f(x) dx = k · ∫ f(x) dx
Trig rules: ∫ sin(x) dx = −cos(x), ∫ cos(x) dx = sin(x), ∫ sec²(x) dx = tan(x)
u-substitution (linear inner): ∫ f(ax + b) dx = (1/a) · F(ax + b)
Integration by parts: ∫ ln(x) dx = x·ln(x) − x + C

이 계산기 사용 방법

Type or click your integrand 위의 키보드를 사용하십시오. 변수로 x, 거듭제곱으로 ^ 및 표준 연산자를 사용하십시오.
Press Integrate. 큰 결과 패널에 + C가 포함된 부정적분과 적용된 모든 규칙의 번호가 매겨진 분류가 표시됩니다.
(Optional) Open the Definite Integral panel 후 하한 및 상한 경계를 입력하세요. 계산기는 F(b) − F(a)를 평가하고 수치 영역을 표시합니다.
Try the example chips 일반적인 적분이 어떻게 풀리는지 확인하세요 — 다항식, 삼각함수, 지수, 로그 및 역수.

일반적인 용도

GCSE 추가 수학, A-Level 수학 및 IB HL 숙제
Leaving Certificate 고급 미적분 문제
1학년 대학 미적분학 과정 (공학, 물리학, 경제학, 컴퓨터 과학)
공부 또는 채점 중 빠른 부정적분 확인
미적분학 기본 정리의 직관 키우기

자주 묻는 질문

Why does my answer have a "+ C" at the end? 부정적분은 덧셈 상수까지만 결정됩니다 — 모든 상수는 미분 시 사라집니다. "+C"는 무한히 많은 함수가 같은 도함수를 공유한다는 것을 상기시켜 줍니다.

Can it integrate with respect to a variable other than x?은(는) x을(를) 변수로 사용합니다. 문제에서 다른 문자를 사용하는 경우 입력 전에 x 대신 해당 문자를 사용하십시오. 답의 구조는 같습니다.

How accurate is the numeric definite integral? 폐쇄형 원시함수가 발견되면 F(b) − F(a)는 약 12~13 자릿수의 정밀도로 배정밀도 부동소수점 산술로 계산됩니다. 폐쇄형이 없으면 계산기는 적응형 세분화를 사용한 Simpson's rule으로 대체하며, 부드러운 피적분함수에 대해 약 1×10⁻⁸의 정밀도를 가집니다.

Why does some integrand return "not supported"? 도구는 입문 미적분학에서 가르치는 표준 규칙에 중점을 둡니다: 거듭제곱, 합/차, 상수배, 삼각함수, 지수, 로그 및 선형 내부 함수가 있는 u-치환. x·sin(x)와 같은 곱에 대한 부분 적분, 삼각 치환, 비선형 분모에 대한 부분 분수 또는 특수 함수가 필요한 적분은 의도적으로 범위를 벗어납니다. 먼저 피적분 함수를 더 간단한 항으로 나누거나 관련된 Graphing Calculator을 사용해 영역을 수치적으로 시각화해 보세요.

Does it handle constants like π and e? 네. pi을(를) 입력하거나 π 키를 클릭하여 π를, e를 입력하여 오일러 수를 입력하십시오. 이들은 부정적분에서 정확한 상수로 처리되고 정적분 한계를 평가할 때 숫자로 변환됩니다.

Can I use this for negative or fractional powers? 네. 거듭제곱 규칙은 n ≠ −1인 모든 실수에 적용됩니다 — x^(-2), x^(1/2) 또는 sqrt(x)을 시도해보세요.

Is my data stored anywhere? 아니요. 모든 계산은 브라우저에서 로컬로 실행되며 아무것도 업로드되지 않습니다.

⚠️

중요 참고: 이 도구는 추정치 및 단계별 교육적 설명을 제공하기 위한 것이며 전문적인 조언을 대체하는 데 사용해서는 안 됩니다. 이 계산기에서 생성된 정보는 불완전할 수 있으며 모든 개인 상황을 고려하지 않습니다. 이 결과를 바탕으로 행동하기 전에 항상 인증된 전문가(재정 상담사, 의료 서비스 제공자 또는 면허 취득 엔지니어 등)의 조언을 구하십시오.