Kalkulator całkowy rachunku różniczkowego

O kalkulatorze całek

Calculus Integral Calculator znajduje funkcję pierwotną funkcji względem x i pokazuje obliczenia linijka po linijce. Jest zbudowany dla students, educators and self-learners, którzy chcą zobaczyć why, dlaczego odpowiedź jest poprawna, a nie tylko wynik końcowy. Każdy krok podaje zastosowaną regułę — reguła potęgowa, sumy, stałej wielokrotności, podstawienie u z liniową funkcją wewnętrzną, reguły trygonometryczne, reguła wykładnicza lub całkowanie przez części — abyś mógł powiązać je z podręcznikiem lub notatkami.

Wszystkie obliczenia wykonywane są w całości w Twojej przeglądarce. Żadne dane nie są wysyłane na serwer, rejestracja nie jest wymagana, a narzędzie jest zgodne z GDPR.

Czym jest całkowanie?

Całkowanie jest odwrotnością różniczkowania. Jeśli F'(x) = f(x), to F(x) nazywa się antiderivative funkcji f(x), zapisanej:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Stała C reprezentuje rodzinę krzywych, które mają tę samą pochodną. Dla definite integral z granicami a i b wartość funkcji pierwotnej oblicza się w punktach granicznych i odejmuje:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

Jest to Fundamental Theorem of Calculus i podaje oznaczony obszar pod krzywą y = f(x) między x = a i x = b.

Standardowe reguły całkowania

• Constant rule: ∫ k dx = k·x + C
• Power rule: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, dla n ≠ −1
• Reciprocal rule: ∫ 1/x dx = ln|x| + C
• Exponential rule: ∫ e^x dx = e^x + C oraz ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C
• Sum / difference rule: ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• Constant-multiple rule: ∫ k·f(x) dx = k · ∫ f(x) dx
• Trig rules: ∫ sin(x) dx = −cos(x), ∫ cos(x) dx = sin(x), ∫ sec²(x) dx = tan(x)
• u-substitution (linear inner): ∫ f(ax + b) dx = (1/a) · F(ax + b)
• Integration by parts: ∫ ln(x) dx = x·ln(x) − x + C

Jak korzystać z tego kalkulatora

1. Type or click your integrand korzystając z klawiatury powyżej. Używaj x jako zmiennej, ^ dla potęg i standardowych operatorów.
2. Press Integrate. Duży panel wyników pokazuje funkcję pierwotną z + C oraz numerowane zestawienie każdej zastosowanej reguły.
3. (Optional) Open the Definite Integral panel i wpisz dolną i górną granicę. Kalkulator oblicza F(b) − F(a) i wyświetla numeryczne pole pod wykresem.
4. Try the example chips, aby zobaczyć, jak rozwiązywane są typowe całki — wielomiany, trygonometryczne, wykładnicze, logarytmy i odwrotności.

Typowe zastosowania

• GCSE Further Maths, A-Level Maths i prace domowe IB HL
• Zadania rachunkowe wyższego poziomu Leaving Certificate
• Kursy rachunku różniczkowego i całkowego na pierwszym roku studiów (inżynieria, fizyka, ekonomia, informatyka)
• Szybkie sprawdzanie całek przy nauce lub poprawianiu prac
• Budowanie intuicji dla podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego

Najczęściej zadawane pytania

Why does my answer have a "+ C" at the end? Całki nieoznaczone są wyznaczone tylko z dokładnością do stałej addytywnej — każda stała znika przy różniczkowaniu. "+C" jest przypomnieniem, że nieskończenie wiele funkcji ma tę samą pochodną.

Can it integrate with respect to a variable other than x? Kalkulator używa x jako zmiennej. Jeśli Twój problem używa innej litery, mentalnie podstaw ją za x przed wprowadzeniem. Struktura odpowiedzi jest taka sama.

How accurate is the numeric definite integral? Gdy znaleziona zostaje pierwotna antypochodna w postaci zamkniętej, F(b) − F(a) jest obliczana z podwójną precyzją arytmetyki zmiennoprzecinkowej, z dokładnością do około 12–13 miejsc po przecinku. Gdy nie jest dostępna forma zamknięta, kalkulator przełącza się na Simpson's rule z adaptacyjnym podziałem, co jest dokładne do około 1×10⁻⁸ dla gładkich całkowanych funkcji.

Why does some integrand return "not supported"? Narzędzie koncentruje się na standardowych zasadach nauczanych w podstawowym rachunku różniczkowym: potęgowych, sumy/różnicy, stałej wielokrotności, trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych i podstawienia u z liniową funkcją wewnętrzną. Całki wymagające całkowania przez części dla iloczynów takich jak x·sin(x), podstawienia trygonometrycznego, ułamków cząstkowych dla mianowników nieliniowych lub funkcji specjalnych są poza zakresem działania narzędzia. Spróbuj najpierw rozłożyć podcałkowy na prostsze składniki lub skorzystaj z powiązanego Graphing Calculator, aby numerycznie zwizualizować pole pod wykresem.

Does it handle constants like π and e? Tak. Wpisz pi lub kliknij przycisk pi dla liczby pi i e dla liczby Eulera. Są traktowane jako dokładne stałe w antypochodnej i przeliczane na liczby przy ocenianiu oznaczonych granic.

Can I use this for negative or fractional powers? Tak. Reguła potęgi działa dla dowolnego rzeczywistego n ≠ −1 – spróbuj x^(-2), x^(1/2) lub sqrt(x).

Is my data stored anywhere? Nie. Każda kalkulacja odbywa się lokalnie w przeglądarce i nic nie jest przesyłane.

Powiązane kalkulatory

• Calculus Derivative Calculator — Różniczkuj dowolną funkcję krok po kroku. Reguła potęgi, iloczynu, ilorazu, łańcuchowa, trygonometryczne, wykładnicze i logarytmiczne — wyjaśnione.
• Algebra Calculator — Rozwiązuje równania liniowe i kwadratowe krok po kroku za pomocą specjalistycznej klawiatury ekranowej.
• Graphing Calculator — Wykreślaj i wizualizuj funkcje matematyczne interaktywnie.